управление в модели оптимального потребления

Тогда имеет место уравнение Беллмана- Гамильтона-Якоби ([1], стр.106, Теорема 5.2). (21)для всех (. Уравнение Беллмана- Гамильтона-Якоби (БГЯ) является дифференциальным уравнением в частных производных. С другой стороны, оказывается, что найдя решение уравнение БГЯ, можно найти оптимальное решение простейшей задачи оптимального управления.Теорема 3.Пусть является дифференцируемой функцией, удовлетворяющей уравнению БГЯ (22)и условию для всех . Пусть является кусочно-непрерывной функцией пои непрерывно дифференцируемой функцией по . Более того, пусть wудовлетворяет условиюПусть является решением уравненияТогда является оптимальным решением, а является оптимальным управлением задачи (18). Кроме того, .Рассмотрим важный частный случай задачи оптимального управления. (23)Пусть функция определена также, как в формуле (19).Пусть . Тогда удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению.(24)и связана с функцией следующим соотношением:(25)Функция определяется в данном случае следующим образом:(26)4.Применение динамического программирования для решения задачи оптимального потребленияРешим теперь задачу оптимального потребления с помощью динамического программирования. В отличии от раздела 2 рассмотримодновременно два случая и , т.е. В соответствие с уравнением (24) получим Найдем максимальное значение выражения . Для этого производную от этого выражения приравняем к нулю и найдем значение v, для которого достигается наибольшее значение. В результате получим уравнение(27)Чтобы найти решение этого уравнения, продифференцируем по xлевую и правую часть равенства (27). Получим (28)Будем предполагать, что . Тогда . Подставив эти значения производных в уравнение (28), получим (29)Для того, чтобы равенство (29) выполнялось для всех , должно выполняться равенство . Получим условие . Таким образом, .Следовательно, . Но тогда Подставив значения и в уравнение (27), получимСледовательно, Таким образом, Следовательно, для определения получим дифференциальное уравнениеОтсюда получим . Но тогда Полученное решение совпадает с решением, полученным в разделе 2.ЗаключениеВ курсовой работе рассмотрена задача оптимального потребления. Решение этой задачи получено двумя различными способами. В разделе 2 решение этой задачи получено при помощи методов оптимального управления. В разделе 4 решение этой же задачи получено при помощи динамического программирования. Решение задачи оптимального потребления методами оптимального управления сводится в данном случае к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению.При решений задачи оптимального потребления методами динамического программирования получается нелинейное дифференциальное уравнение. Следовательно, в этом случае этот метод оказывается более сложным для практического применения.Литература1.А. Calogero. Notes on optimal control with economic models and exercises, Dipartimento di Matematica e Applicazioni- Universitµa di Milano-Bicocca, July,2014.,144p. 2. ПонтрягинН.С., БолтянскийВ.Г., ГамкрелидзеМ.В.,МищенкоЕ.Ф., Математическая теория оптимальных процессов, Наука, 1983г., 393с.